a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3,求证a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)=(a+b+c)^2n+1

(a+b+c)^3-a^3=b^3+c^3
(a+b+c-a)[(a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2)=(b+c)(b^2-bc+c^2)
(b+c)(3a^2+b^2+c^2+3ab+2bc+3ca)=(b+c)(b^2-bc+c^2)

若b+c=0
a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)
=a^(2n+1)
(a+b+c)^2n+1=a^(2n+1)
显然结论成立。

若b+c≠0
则3a^2+b^2+c^2+3ab+2bc+3ca=b^2-bc+c^2
a^2+ab+bc+ca=0
a(a+b)+c(a+b)=0
(a+c)(a+b)=0
则a+c=0或a+b=0
代入a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)=(a+b+c)^2n+1
等式均成立。
因此a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)=(a+b+c)^2n+1
恒成立。